Holzschnitt 1510
    
Niklaus von Flüe
Bruder Klaus  
  
 
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   Mystik und Mathematik · Analyse der Radskizze
  
   1. Analyse · Quadrat, Kreise, Speichen (Vektoren)
   
Es ist höchst eigenartig, wie die so genannte «Radskizze» bei den Freunden von Bruder Klaus in der jüngsten Zeit an Bedeutung gewonnen hat. Denn sie war in dieser Art nie im Besitz des Einsiedlers im Ranft, vielmehr benutzte sie der Autor des um 1488 in Augsburg erschienen «Pilgertraktats» für die schematische Erklärung des farbigen Meditationsbildes von Bruder Klaus. Dieser Autor war vielleicht theologisch nicht gerade auf dem höchsten bildungsmäßigen Stand seiner Zeit, dafür war er anderweitig ein Fachmann und Pionier. Der wahrscheinliche Autor des anonym erschienen Traktats war Heinrich Gundelfingen, Professor für Logik und Rhetorik an der Universität Freiburg im Breisgau.
    
RadskizzeDie Quadratur des Kreises   
   
Da Gott unsichtbar ist, muss die Theologie und vornehmlich die Mystik auf Metaphern und Symbole zurückgreifen, unter anderem auch auf Zahlen und geometrische Symbole, um so in Strukturanalogie vergleichsweise etwas über ihn auszusagen. Am häufigsten im Gebrauch war der Gedanke, Gott könne vergleichsweise so vorgestellt werden wie eine unendliche Sphäre, dessen Mittelpunkt überall und dessen Umfang nirgendwo ist. Dieser Gedanke wurde auch schon zur Ausdeutung der Radskizze im Pilgertraktat und der darauf bezogenen Angaben herangezogen, sowie leider auch zur Interpretation des Gemäldes. Für das erstere mag es etwas auf sich haben, da ja der dazugehörende Text entsprechende Spuren aufweist, doch auf einen derartigen Vergleich mit der gemalten Betrachtungstafel sollte grundsätzlich verzichtet werden, da sie keinen Anhaltspunkt dafür bietet, dass ihr eine solche Darstellungsabsicht zu Grunde liegt. Man wird sowieso gut beraten sein, wenn man die beiden Gegenstände, die Radskizze und das Gemälde, streng auseinander hält. Zunächst sollen die mathematisch bedeutsamen Strukturen ein wenig analysiert werden, und zwar insofern, als sie auch theologisch relevant sind.
   
Eine bemerkenswerte mathematisch-mystische Symbolik erscheint in der Radskizze der Augsburger Ausgabe. In diesem Sinne ist sie denn auch Interpretation und Erweiterung des farbigen Betrachtungtuches, sie dient dem Zweck eines Darstellungsversuchs innerhalb dieser Symbolik, welche im Gemälde jedoch nicht anzutreffen ist, bzw. erst noch in es «hineingelesen» werden müsste, und genau dies hat denn auch der Autor des Pilgertraktats – Heinrich Gundelfingen getan, in der Zeichnung und im Text; ein gleicher Zug befindet sich in der «Historia Nicolai» von Gundelfingen. Die Symbolik erscheint in der Gestalt sämtlicher Bildelemente, Punkt, zwei Kreise, Quadrat und
Speichen; nichts ist dabei, was nicht hineingehört, so haben wir es mit einem geschlossenen System zu tun. Nun soll die Radskizze jedoch zuerst in eine moderne Darstellungsart umgeformt werden, wodurch sie etwas an Überschaubarkeit und Exaktheit gewinnt.
   
Das Quadrat und der äußere Kreis deuten die Quadratur des Zirkels an. Dies ist eines der drei unlösbaren Probleme der alten, euklidischen Geometrie. Die Aufgabe bestand darin, allein mit Zirkel und Lineal einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln. Ein endgültiger Nachweis der Unlösbarkeit dieser Aufgabe im Sinne der klassischen Ausführungsmethode gelang 1882 Ferdinand von Lindemann (1852–1939): Transzendenz der Zahl Pi. Bis dahin wurde die Thematik immer wieder angeschnitten, so auch im mittelalterlichen Studium des Quadrivium, wobei dann, gleichsam als Nebenprodukte, andere wertvolle Erkenntnisse gewonnen wurden, so beispielsweise die, dass die Umfänge sämtlicher ins Unendliche ausgedehnter Figuren, Kreis, Quadrat, regelmäßige Dreiecke und Vielecke, zusammenfallen, d.h. alle Figuren miteinander identisch werden. Diese intelligible Transgression des geometrisch Darstellbaren, im Vorraum der Infinitesimalrechnung, kann sinnvoll zur Illustration der apophatischen Theologie herangezogen werden, um vergleichsweise etwas über die allumfassende und allgegenwärtige Unendlichkeit Gottes auszusagen; in Gott sind dann alle Gestalten so vereinigt, dass sie einzeln gar nicht mehr hervortreten können, so ist es auch mit dem Wesen Gottes und seinen «Eigenschaften», die alle miteinander identisch sind. Gottes Wesen ist einfach und darum gerade auch unbegreiflich; seine Proprietäten sind im Einzelnen nicht voneinander und vom ganzen Wesen abtrennbar.

Das mathematische Kontinuum lässt eine doppelte Unendlichkeit zu, einerseits ein absolut unendliches Maximum und andererseits ein ebensolches Minimum. Beides will unsere Radskizze demonstrieren, das erste im Zusammenfallen von Quadrat und Kreis, das zweite im zentralen Punkt. Dieser Punkt ist nicht rein zufällig in die Zeichnung hineingeraten, er erfüllt hier eine wichtige Funktion. Wächst einerseits der Kreis ins Unendliche, so wird die Krümmung derart minimal, dass sie aufgehoben wird und mit der Geraden identisch wird; schrumpft der Kreis aber andererseits zur unendlichen Kleinheit zusammen, so wird die Krümmung derart maximal, dass der Kreis mit dem Punkt zusammenfällt. Die Theologie der «Zirkulatur» kann somit erweitert werden, und das Unsagbare Gottes wird, wenn auch trotzdem noch dürftig, auf dem Umweg über die Mathematik anschaulich darstellbar. So liegt der zusammenfassende Gedankengang nicht mehr so sehr im Dunkeln, Gott sei wie ein Kreis, dessen Mittelpunkt überall und dessen Umfang nirgendwo ist. Ob unser Autor diesen berühmten Satz anvisierte oder ob er ein bestimmtes fremdes Konzept rezipiert hat, in dem dieses Thema einverleibt wurde, bleibt vorerst noch eine offene Frage.
    
Pioniertat – Vorstufe der Vektorenanalyse
  
Was das Wort «Vektor» heute genau bezeichnen soll, ist nicht völlig klar. Sicher dürfte es abgeleitet sein vom lateinischen Verb «veho» (passiv und intransitiv: vehor), bzw. von der intensiveren Form (Frequentativum) «vecto» = fahren, tragen, bringen. «vector» bedeutet dann: «Träger», aber auch: «Fahrer», «Passagier. «vectura» schliesslich: «Transport» usw. – Über die indogermanische Sprachverwandtschaft stossen wir auf das deutsche Substantiv «Weg» und ferner auf «Be-Weg-ung». Ist eine Bewegung etwas, das auf dem Weg ist? Ist Bewegung nur immer als Weg darstellbar? Und wie gehabt bedeutet «Relation» (Grundform: fero, tuli, latum = tragen) so viel wie «Zurück-Tragen». D. h. beide Worte sind synonym, und beide haben einen dynamischen Charakter.
  
VektorenadditionIn der Physik werden Vektoren verwendet, z. B. für Kräfte, für Impulse, für aktive oder potentielle Energien usw. Ein Vektor hat einen Ausgangspunkt, eine Grösse (Intensität) und eine Richtung. In der Vektoranalysis wird allerdings versucht, Vektoren in ein dreidimensionales Modell des Raumes einzubringen – das Koordinatensystem ist nur ein Modell der Wirklichkeit und ein recht statisches dazu – wo einem Vektor ein Zahlentripel zugeordnet wird. Mit der Vektorenaddition kann schliesslich die Vermutung veranschaulicht werden:
Die Summe aller Energien im Universum ist gleich Null.
  
Drei gleiche, im Winkel von 120° zueinander stehende Vektoren (a, b, c) ergeben zusammenaddiert den Vektor s, mit dem Wert «Null», darstellbar als Punkt. Es handelt sich allerdings um ein stark vereinfachtes Modell, denn die Vektoren im Universum sind dreidimensional, stehen untereinander in verschiedenen Winkeln und sind schliesslich von verschiedener Länge. Trotzdem wird ein System gedacht, in dem alle Eventualitäten sich so ergänzen, dass alle Vektoren sich bei der Addition zum Wert «Null» subtrahieren.
     
Vektoren der RadskizzeEs bleibt nun noch der Versuch, etwas über die Mathematik der Radspeichen zu erklären. Hierfür sollen die sechs Speichen transkribiert werden zu sechs Vektoren. Die Analyse wird sodann fortfahren in der Operation der Vektorenaddition. Obwohl aber diese Methode um 1500 kaum systematisch thematisiert wurde, also kaum gebräuchlich gewesen sein dürfte, kann eine derartige Untersuchung etwas Wertvolles ans Licht führen. Es geht ja nicht nur darum festzustellen, welche mathematischen Methoden dem Autor des Pilgertraktats (PT) zugänglich waren und in der Skizze, sowie im Text intendiert werden konnten; der Inhalt der schriftlich und graphisch dargestellten Gedanken im PT ist jedenfalls dem adäquat, was auch eine Vektorenanalyse der Skizze ergibt.
   
zentrifugale Vektorenzentripetale Vektoren   alle Vektoren
Die Vektoren a, b und c sind die drei Speichen, die außen breit sind und nach innen in eine Spitze verlaufen, im PT und in der «Historia Nicolai» (HN) wird hierzu gesagt, sie bedeuten die drei Personen in ihrem Ausgehen aus der Gottheit. Bilden wir nun die Summe dieser zentrifugalen Vektoren, so erhalten wir als Resultante s in arithmetischer Notation den Wert Null und wiederum geometrisch dargestellt die Figur eines Punktes. – Die gleiche Operation mit den drei zentripetalen Vektoren d, e und f (entsprechend den Speichen, die innen breit sind) führt zum gleichen Resultat, entsprechend dem Text in der HN bedeuten diese Speichen das Wiedereingehen der drei Personen in die ungeteilte Gottheit hinein. Werden sodann alle sechs Vektoren auf diese Weise addiert, so ist demzufolge auch dieses Resultat gleich Null, oder der Vektor s, darstellbar als Punkt in der Mitte, als das Kraftzentrum des ganzen «Systems», das seinerseits völlig im Gleichgewicht, in Harmonie mit sich selbst ist. In der Mitte ist Ruhe und Frieden. Und gerade dieses mathematisch-physikalische System kann nun vorzüglich in theologische Worte übersetzt werden: Gott kann in immerwährendem Fließen aus sich selber heraustreten und wieder zu sich selber zurückkehren, dennoch bleibt er in jedem Augenblick, ohne irgendeiner Veränderung unterworfen zu sein, stets bei sich selber. Er bleibt für sich, er bleibt eine ungeteilte Einheit, trotz seinem zwei-mal-dreifachen Wirken nach außen. Aus- und Eingehen haben also nichts zu tun mit substantiellen Emanationen, sondern nur mit dem reinen Wirken Gottes in drei Personen, bzw. drei Manifestationen. So ist das göttliche Wesen, denn es ist ja reines Wirken. Und obwohl dieses Wirken zeitlich irdisch sich in Vielfalt ereignet, so bleibt bei Gott selbst alles gleich, unverändert und ewig. Und bezeichnender Weise sagte Bruder Klaus auch dies: «Der Friede [die Ruhe] ist immer in Gott, denn Gott ist der Friede. Friede kann nicht zerstört werden, aber Unfriede wird zerstört.» (Brief an den Rat von Bern, 1481) – Hier wird Mystik zum praktischen Ratgeber für die Menschen.
   
Theologie muss nicht notwendigerweise nur in Worten allein bestehen, eine bildhafte, graphische Darstellungsart kann hier ebenso etwas aussagen. Insofern ist die «Radskizze» des PT ein durchaus gelungener Versuch. Ob ihr die Gedanken eines großen zeitgenössischen Theologen Pate gestanden sind, wird sich bald noch zeigen. Tatsache ist jedenfalls, dass im 15. Jahrhundert noch lange niemand mit Vektoren rechnete, es gab keine «Vektoren-Analysis». Statt Vektoren benutzt der Pilger den Begriff «Speiche». Ohne überhaupt erkannt zu werden, hat Gundelfingen einen genialen Ansatz gerade hierzu geleistet. Die Metapher «Rad» dient Gundelfingen als Anschauungsmodell für das Spiel der Kräfte mit all ihren Bewegungen und Tendenzen. Woher stammt nun diese Grundidee des Rades? Gewiss nicht von Bruder Klaus. Aber auch Gundelfingen ist nicht der originelle Erfinder, vielmehr hat er die Idee, die Metapher, von einem andern Zeitgenossen, ebenfalls mit dem Namen «Nikolaus»; es ist das wohl größte wissenschaftliche Genie des 15. Jahrhunderts, der aus dem Moseltal stammende Nikolaus von Kues.
   
Die Bedeutung des Vektors s
   
Warum steht beim Mittelpunkt der Buchstabe s? – Der Vektor s ist ein Schnittpunkt der Vektoren, bzw. der Schnittpunkt der Relationen, der ein- und ausgehenden Bewegungen. s ist für sich selbst wiederum ein Vektor, der eine reflexive Relation darstellt, eine Relation zu sich Selbst. s ist das Selbst, der Wesenskern oder Personkern. Eine Beziehung (Relation) zu sich selbst kann gar nicht anders dargestellt werden denn als Punkt. – Diese besondere Relation wird nachfolgend beim Modell der menschlichen Person noch genauer erklärt.
   
Alfred North Whitehead (u. a. Mitautor der «Principia Mathematica»), der vielleicht als «Aristoteles der Neuzeit» bezeichnet werden kann, bemüht sich entschieden, einer zu statischen Sicht der Wirklichkeit entgegenzutreten. Die Wirklichkeit bestehe vielmehr aus Bewegungen, aus «events» (Ereignissen), bzw. «actual occasions» (wirkliche Ereignisse); diese seien die «Bausteine» der Wirklichkeit. «Alle Dinge sind Vektoren.» (All things are vectors, Prozess and Reality). Im Anschluß an Descartes und die moderne Physik bestünden die physikalischen Körper aus «Formen innerer Beziehungen zwischen wirklichen Ereignissen (between acctual occasions) und innerhalb wirklicher Ereignisse» (within acctual occasions) –, das bedeutet eine Wandlung des Denkens, weg vom «Materialismus», hin zum «Organismus». Ein wichtiger Begriff ist bei Whitehead «nexus» (Verknüpfung), eine Metapher aus dem handwerklichen Sprachspiel. «Die wirklichen Einzelwesen der wirklichen Welt sind in einem Nexus dieser Empfindungen (feelings) aneinander gebunden. … Aber diese Bindungen (bonds = Bündel, synonym von «nexus») haben immer ihren Vektor-Charakter. Dementsprechend stellen sich die elementaren physischen Einzelwesen für die Physik immer als Vektoren dar, die Verlagerung bezeichnen. Es gibt nichts Statisches in der Welt.» (The actual entities of the actual world are bound together in a nexus of these feelings. … But this bonds [syn. nexus] have always their vector-character. Accordingly the ultimate physical entities for physical science are always vectors indicating transference. In the world is nothing static.– ein erweiterter «nexus», bzw. «bond» wäre wohl ein «Kontext»). – Ein Einzelwesen (entity, Entität) – verstehbar ganz im Sinne des aristotelischen «ousia» (lat. essentia) – ist also ein Vektor; in Zusammenfassung mehrerer Ereignisse ist es ein einziges Ereignis. Was ist nun aber eine «Empfindung» (feeling)? Es ist die Bewegung von der Ursache her, von einem Ereignis der Vergangenheit her, das – vereinfacht gesagt –, in ein aktuelles Ereignis übergegangen ist; Whitehead spricht auch hier vom «Vektor-Charakter» –. Der Nexus ist die Verknüpfung von Ereignissen, ein Vektoren-Relationen-Geflecht, in dem sich Ursachen und Wirkungen schneiden, in andere übergehen und so fort. – Auszug aus meiner Studie «Sterben ist eine Geburt» (2000, Seite 154)
  
Mind Mapping – Selbstmanagement
   
Im Computerzeitalter gibt es als neues Hochschulfach innerhalb der Wirtschaftsinformatik das «Selbstmanagement» (Self Coaching), darin finden wir auch das vielenorts beliebte «Mind Mapping». Das farbige Meditationsbild ist hinsichtlich des christlichen Glaubens ein Mind Mapping. Denn es geht nicht nur um den Glauben als eine Sache sondern auch um die Tätigkeit der menschlichen Person, innen und außen, um Relationen des Denkens und Handelns. Im Fach «Selbstmanagement» wird viel mit graphischen Darstellungen gearbeitet, um das logische Verstehen zu unterstützen. Die Handhabung der Modelle erfolgt zum Teil intutitiv, zum andern Teil wird jedoch versucht, das Zählbare und Messbare darin greifbar zu machen. Die Erkenntnisse die aus dem Umgang mit der Radskizze gezogen werden, können für verschiedene Wissensgebiete von nutzen sein. Viele Menschen, die sich mit Bruder Klaus beschäftigen, nehmen die Radskizze zu Hilfe für die Medation, um mit deren Hilfe das innere Gleichgewicht zu finden oder zu stärken. Was aber bereits im Unbewussten nützlich und hilfreich sein kann, müsste es auch sein in der Ebene des vollen Bewusstseins. Wo aber könnte die Radskizze heute wissenschaftlich gesehen als Hilfsmittel zum Einsatz kommen? In der Psychologie? Ja – und in verwandten Wissensgebieten, in der Philosophischen Anthropologie, in der Ethik, auch im «Selbstmanagement». Die Radskizze ist als Grundlage eines Modells der menschlichen Person äußerst willkommen. Dieses Modell wird stets erweiterungsfähig bleiben.
  
Werner T. Huber, Dr. theol.
  
Wie kam ich 1981 überhaupt dazu die Radskizze mathematisch zu analysieren? – Im Herbst 1972 begann ich das Studiums in Chemie und Biologie an der ETH Zürich, pflichtgemäss musste ich auch mathematische Vorlesungen in «Analysis» (= Vektorenanalyse) besuchen, welche später inspirierend wirkten auf die Analyse der Radskizze im 1487 gedruckten Buch «Brůder Klaus». – Das Studium wurde nach einigen Wochen aus gesundheitlichen Gründen (Übelkeit im Labor) aufgegeben.
  
  
Verzeichnis: Das «Rad» und sein verborgener Sinn
  
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